~고[~ゴ] [~コ]～（し）て、～で、～だし

있다[イッタ]ある、存在する、居る

この組み合わせで「〜ている」の意味になり、現在進行を表します。

「~아 / ~어 있다」との違いは、「~고 있다」は「動きや状況の継続」を表すということです。

~아 / ~어 있다[~ア / ~オ イッタ]〜している（状態の維持・継続）

例文で違いを見てみましょう。

떨어지다[ットロジダ]落ちる、落下する、下がる、劣る、及ばない、離れる、別れる、手に入る、下る、のしかかる、擦り切れる、すり減る、破れる、使い切ってなくなる、尽きる、品切れになる、切れる、切らす、割り切れる、計略などに陥る

「떨어지고 있다」は「現在落ちている」「今離れてる」最中を表しますが、
「떨어져 있다」は「もう落ちた状態」で「すでに離れている」状態を表現します。

살다[サルダ]生きる、暮らす、住む

例2は「生き物」に使う動詞なだけにどちらも「生きている」になりますが、意味が異なることでわかっていただけるのではないかと思います。
「살고 있다」は「生きる活動中」なわけで、
「살아 있다」は「頑張って生きる」や「どう暮らしてる」とかはわからないけど、「命はある＝死んでない」という意味で使います。

英語の「~ing」とは少々異なると思いますし、日本語にするとどちらも「〜ている」になるのですが、この例で少しでも感覚でわかって頂けると嬉しいです(^-^)

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그리고 있어[クリゴ イッソ]恋しく思っているの、恋しがっているの

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드라마로 한국말을 공부하고 있어요.[ドゥラマロ ハングンマルル コンブハゴイッソヨ]ドラマで韓国語を勉強しています。

흰색 바지를 찾고 있는데, 있어요?[ヒンセッパジルル チャッコインヌンデ イッソヨ]白いズボンを探してるんですが、ありますか？

깜빡 잊고 있었어요.[ッカムッパッギッコ イッソッソヨ]うっかり忘れていました。