받다[パッタ]受ける、受け取る、もらう、引く、突く、衝突する、似合う

받다だけで「受ける」という意味がしっかりあるのに、なぜ「내다」をつけるのか？！

내다単体の意味を確認してみましょう。

내다[ネダ]出す、表す、空ける、開ける

今回は、もう一つある補助動詞としての~내다として「前に来た言葉を自らの力で成し遂げる」意味を持たせることができます。
主には該当する行動が難しかった場合に使われることが多いです。

받아내다だと、「受ける」「もらう」ということが困難な場合に使うのが似合う単語ですね。
日本語で一番近いニュアンスの表現を考えてみました。きっと「ついにもらった」「やっともらえた」だと思います。これは“困難だった”だけをアピールする言葉になりますが、実はもう一つ使う場面があって‘上から目線で’「もらってやった」「受けてやった」と言う時にも使うことがしばしば。

ちなみに正しくは「받아 내다」と書くみたいです。確かに辞書でも「받아내다」を見つけることはできませんでした。でも、良く使う単語ですし、私的には띄어쓰기（単語間のスペース）はそんなに気にしなくてもいいのではないかと思う単語です。