BoA「Kiss My Lips」の歌詞
アニミョン ネゲ ヌンキルド チュジマ BABY
아니면 내게 눈길도 주지 마 BABY

「目が行く」の눈길이 가다はどちらかと言うと「（勝手に）あるもの・人を見てしまう」といったニュアンスがあります。
今度は「見ないで」の 눈길도 주지 마 です。
原型にすると 눈길을 주다 で「目をくれる/目をやる」の意味です。ここで言う「目」は「視線」の意味を含んでいると思います。

눈길이 가다 の反対は 눈길이 오다 になるかと思いきや、あまり使いません。（使ってるのを聞いたことがありませんｗ）
눈길이 오다 より自然な言い方は 눈길을 주다 になると思います。

韓国語では日本語以上に「自分に相手が何かした」行動を「相手が自分に何かしてくれた」という言い方をすることが多いです。
「相手が勝手に自分を見てくる」行動に対し「相手が私に目線をくれる」って不思議ですもんね？(笑
まあ、上の例は直訳だからちょっと変ですが（笑

주다が「あげる」「くれる」両方の意味があるから、便利な言葉だと思います。是非色んなニュアンスを見てみてください♪

関連・おすすめの表現解説♪

눈길이 가[ヌンキリ ガ]目が行くの、視線が行く

눈길 한 번도[ヌンキル ハンボンド]視線を一度も

한 눈 팔지 마[ハン ヌン パルジマ]よそ見しないで