「나이를 먹다」直訳すると「年を食べる」です。
似た表現が日本語にもありますよね、「年を食う」。
個人的に「年を食う」という日本語はラフな言い方だなと思うんですが、韓国語の「나이를 먹다」はそこまでラフではありません。
確かに目上の人に「나이를 먹다」は使いませんが、「年を取る」と同じ感覚で使うんです。
強いて「年を食う」を韓国語に表現したいのでしたら「나이를 처먹다」のほうが近いと思います。

韓国語と日本語を合わせ、ラフさ加減で並べ替えて見ましょう。

気をつけて欲しいのは「처먹다」はスラング？のように使う表現で、乱暴な言い方になります。「처~」という表現は今度やりたいと思います。

「나이를 먹다」を目上に言う場合は、「연세를 잡수다」を使います。これまた直訳すると「お年をお食べになる」「お年を召し上がる」で、面白い表現になり、「お年を取られる」という意味で使われます。

「연세」は「나이」の敬語で「お年」を意味します。
「잡수다」は「お食べになる」「召し上がる」です。

「연세를 잡수다」以外に、「연세를 잡수시다」とも言います。

~시다 / ~으시다[~シダ] / [~ウシダ]〜られる、〜なさる（尊敬語にするための語尾）

「잡수다」自体が「먹다」の丁寧語ですが、目上の人に「잡수다」を使う場合：自然と「~시다」を追加した「잡수시다」を使うようになります。

次は「나이가 들다」です。

これこそ「年を取る」以外、訳し用がないかもです。プラス「年を寄る」や「老ける」とも訳せます。
そのため、「お年寄り」のことは「나이 먹은 분＝年を食べた方」ではなく「나이 든 분」「나이 드신 분」と言います。

これまた目上の方に直接話す時はなんと表現すればいいか？

「연세가 드시다」「연세를 드시다」＝「年を取られる」

助詞は「~가」または「~를」を使うことができます。

「드시다」は、「잡수다」と似ていて、「食べる」の意味として「お食事、どうぞ」＝「식사 드세요」のように使うこともできます。

「드시다」も「잡수시다」と同様、「들다 + ~시다」の形です。

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