밤새と言うと動詞「밤새다」の活用だと思っていましたら、名詞でちゃんと「밤새」があったみたいです。

밤새は

밤사이「夜間」が短くなり = 밤새 [パムセ]になったそうです。

では、歌詞を例に見て行きます♪

A pink「Wanna Be」の歌詞
アムド モルゲ ナ ジョヨンヒ バムセ ノル クリダ Fall in Love
아무도 모르게 나 조용히 밤새 널 그리다 Fall in Love

밤새 널 그리다(가)は「一晩中君を恋しがって〜」という意味です。
直訳すると「夜の間」という意味の밤새は、「一晩中」というニュアンスにも使えますね。

Block B「빛이 되어줘 / 光になってくれ」の歌詞
サンサンソゲ ノワ バムセ ナヌヌン デホァ
상상 속의 너와 밤새 나누는 대화
想像の中の君と夜中交わす会話

너와 밤새 나누는 대화は、和訳で「君と夜中交わす会話」
ちょっと話題からそれますが、상상 속의 너「想像の中の君」と“会話を交わす”って、夢見てるってことですね。

ユン・ドヒョン「最近僕の姿 (Feat. Tablo & K.will)」の歌詞
パムセ コミンハダガ キョルグッ スルマン タルジ
밤새 고민하다가 결국 술만 따르지

밤새 고민하다가は「夜中悩んでて〜」です。
が、ちょっとややこしいです。「夜中“起きた状態で”悩んでる」のなら、「夜通し起きてた」＝「夜更かし」の밤새なのかなー？ってw
この밤새が「밤새다の活用で밤새서」＝「夜更かしして」と「밤사이」＝「夜中・一晩中」の中、どっちなのだ？！と
すごくどうでも細かいところが気になったわけです（笑

どっちにしろ「夜のうち」にあったことには間違いないですね(^-^)

EXID「매일 밤 / 毎晩 / Every night」の歌詞
ノヌン ウェ ナルゥ ット フンドゥロ ボリョゴ パムセ ジョンホァベリ ックンキジル アナ オ ノノノ オ ノノノ
너는 왜 나를 또 흔들어 보려고 밤새 전화벨이 끊기질 않아 오 노노노 오 노노노

밤새 전화벨이 끊기질 않아は「夜中電話ベルが絶たない」という意味になります。

저는 이 글을 올리기 위해 밤새 이러고 있습니다…ㅋㅋ
私はこの記事を書きあげるため夜中こうしています…w