「까먹다」の語源は「까서 먹다」ではないかと思います。

「皮をむいて食べる・殻をむいて食べる」が本来の意味としてぴったり！

それに追加して
‘本来は皮・殻がかぶったままにしとくべきもの’＝‘大事にすべきもの’や‘保存しとくべきもの’を、
‘むいて食べる’、‘むいたがために、どこかに行ってしまう’といったことで、この「까먹다」が「使ってしまう」「忘れてしまう」ってことで使われるようになったのではないか？！
というのが私の推測です。

까다[ッカダ]減る、減らす、抜く、差し引く、皮をむく、孵化する、（俗語）蹴る、脱ぐ、バラす、言いふらす

먹다[モクッタ]食べる、飲む、食う、食らう、吸い込む、よくのる、持つ、年取る、取る、取られる

では、同じ「忘れる」の意味「잊다」との違いは何か？！

「잊다」は「覚えていたものを忘れる」「記憶していたものを忘れる」なのに対し、
「까먹다」は「忘れちゃいけないものを忘れる」「覚えているべきことを忘れる」です。

~먹다の表現って、気にくわない時に使う補助動詞です。
それが今回の까먹다にも使われて、“気にくわねー”と強調してるわけです。

「自分自身が忘れてしまった」と言うのを「까먹었다＝忘れた」という時は、「あっ、いけねー、忘れてたわー」って感じ・心境です。