もともと「화내다」は「화를 내다」が短くなったものです。

直訳すると「火を出す」になっちゃいますが（笑

「怒り」「憤り」を、「화」と言うんだってことを覚えておくと「怒りを出す」で、なんとなく意味が理解しやすくなるかなと思います。

例文1のように「화내다」を本来の「화를 내다」の形として使うこともたくさんあるんです。
なので、「화내다」も「화를 내다」も一緒に覚えておくことをオススメします(^-^;